从托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theo

浏览量:618 时间:2020-06-17阅读:698点赞:408

在高中课程的三角函数单元提及了许多三角公式,像和(差)角公式、倍角公式及半角公式。事实上,这些三角公式(主要是正弦和余弦函数)都是托勒密(C. Ptolemy, c. 100-178 C.E.)在发展弦表的过程中,提出的一系列命题(有兴趣的读者可参见《The Almagest》一书)。

从课程的安排上,不难发现和角与差角公式处于非常基础的地位,这个现象在托勒密提出的脉络中也是相符。然而,托勒密如何发现和角公式?若要读者好奇地往前追溯,将会惊奇地发现和角公式和托勒密定理有着密切的关係。因此,从托勒密定理出发,也是介绍和角公式一个很好的切入点。

托勒密定理的内容是:「圆内接四边形的对角线乘积,等于两组对边乘积的和」。如图一所示,对圆内接四边形 $$ABCD$$,等式 $$\overline{AB}\times\overline{CD}+\overline{BC}\times\overline{AD}=\overline{AC}\times\overline{BD}$$ 成立。只要熟悉相似三角形的性质,要理解这个定理的证明并不困难。

从托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theo

接下来,利用正弦定律:$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$,

其中 $$a,b,c$$ 分别为 $$\angle A,\angle B,\angle C$$ 所对应的边,$$R$$ 为三角形的外接圆半径。

因此,当 $$2R=1$$ 时,$$a=\sin A,~b=\sin B,~c=\sin C$$。

也就是说,直径为 $$1$$ 的圆上的任一角所对的弦长恰为此角的正弦值。

如图二所示,令直径 $$\overline{AC}=1$$,$$\angle BAC=\alpha$$,$$\angle DAC=\beta$$。

则 $$\overline{BC}=\sin\alpha$$,又 $$\Delta ABC$$ 为直角三角形,因此 $$\overline{AB}=\cos \alpha$$。

同理,$$\overline{CD}=\sin\beta,~\overline{AD}=\cos\beta,~\overline{BD}=\sin(\beta)$$。

利用托勒密定理 $$\overline {AC}\times\overline {BD}= \overline{BC}\times\overline {AD}+\overline{AB}\times\overline {CD}$$,将各线段代入即得

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta $$,为正弦函数的和角公式。

从托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theo

再者,若吾人考虑如图三,直径 $$\overline{AC}=1$$,$$\angle BAC=\alpha$$,$$\angle DAC=\beta$$。

则 $$\overline{BC}=\sin\alpha,~\overline{CD}=\sin\beta,~\overline{AD}=\cos\beta$$。

又 $$\angle BAD=\alpha-\beta$$,所以 $$\overline{BD}=\sin{(\alpha-\beta)}$$。

由托勒密定理 $$\overline {AD}\times \overline {BC}= \overline {AB}\times\overline{CD}+\overline{AC}\times\overline {BD}$$ 并将各线段代入,

$$\sin \alpha \cos \beta= \cos \alpha \sin \beta+ 1 \times \sin (\alpha-\beta )\\\Rightarrow \sin (\alpha- \beta ) = \sin \alpha \cos \beta- \cos \alpha \sin \beta$$

恰是正弦函数的差角公式。

托勒密正是利用此一公式,由已知 $$72^\circ$$ 和 $$60^\circ$$ 的弦长,进而求出 $$12^\circ$$ 的弦长。

从托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theo

儘管需要花些时间介绍托勒密定理,但由托勒密定理到和(差)角公式的教学进路,却能提供学生不同的几何感受。进而能对三角公式有更深刻的体会,不再只将它们当成一组代数变换的符号操弄。

参考资料:

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